解题思路

本题是要求实现对点更新和矩形区域的查询操作，强制在线。于是很容易和 K-D Tree 的按区域管辖和合并的性质联系到一起。本题需要对在矩形内外的判断细心留意，以免出错。

另外由于本题大量的插入操作，K-D Tree 可能随着数据量增大导致结构不平衡，从而影响效率。因此这里我们需要用到类似替罪羊树的思想，引入一个平衡因子（这里我设置了 0.7），一旦某一侧子树的 size 过大（所占比例超过平衡因子规定的临界值），就重建这颗树，以此来保证效率。当然直接按插入次数暴力重建整棵树也是可以的。

解题思路

2016 ICPC 青岛 的一道金牌题，是 K-D Tree 的典型应用。

我们可以按 x, y, c 建立三维 K-D Tree，查询的时候如果 c 过大，则直接把当前搜到的 dis 设置为 INF，其他操作和普通 K-D Tree 基本一致。

另外应注意，如果直接使用输入时的数组 Build，可能会被 nth_element() 打乱顺序，因此更新答案时需要记录原数组中的下标信息。

解题思路

很巧妙的一道题。我们可以考虑用二维树状数组去做，新建障碍视为在二位数组中对一个矩形区域增加一个值，而移除障碍就是减掉这个值，查询就是判断两个点的值是否一致。

那么问题来了，这个值要加多少呢？这个题给了很巧妙的做法，就是每次随机一个数（可以去 Editorial 看一下证明）。当然其他不会导致重复的生成方式也是可以的。

解题思路

算是一道 Link/Cut Tree 的模板题了，另外也可以巩固一下 Splay 的合并信息的方法。应特别注意 PushDown 相关的计算不要出错。

解题思路

本题是要求区间内不同数的个数，这是主席树的常见应用之一了。

做法很简单，我们可以倒序（从右向左）建立主席树，如果一个值还没出现过，则直接插入，否则删除后再重新插入（相当于保留这个数最左出现的位置）。之后要查询 [l, r] 时，选用 l 位置的主席树，这时树中的数据是 [l, n] 范围内的，因此查询时需要传入 r 作为挡板，仅统计小于等于 r 的个数，这样就可以实现 [l, r] 区间不同数的查询。

当然也可以保留每个数最右出现的位置来正序建树，和上面的做法就反过来了。